\( \def\f{\kern.1ex} \def\ff{\kern.2ex} \def\fff{\kern.3ex} \def\F{\kern.4ex} \def\b{\kern-.1ex} \def\bb{\kern-.2ex} \def\bbb{\kern-.3ex} \def\B{\kern-.4ex} \def\vb#1{{\mathbf{#1}}} \def\va#1{\vb{{#1}}} \def\ap#1#2{#1\times#2} \def\tri{{\scriptstyle\triangle}} \def\bprf{\rule{.3ex}{1.6ex}\rule[1.3ex]{1.0ex}{.3ex}\kern.8ex} \def\eprf{\kern.5ex\rule{1.0ex}{.3ex}\rule{.3ex}{1.6ex}} \)

 

Лицев център на многоъгълни фигури

 

Бойко Банчев,
Семинар „Дидактическо моделиране“
4.10.2021


В механиката център на масата (център на тежестта, равновесна точка) е точка, която характеризира разпределянето на масата в дадено тяло или система от тела: в редица отношения поведението на тялото или системата може да се опише чрез това на центъра на масата.

В геометрията „център на масата“ е имитация на понятието в механиката. За маса се говори в условен смисъл – количества, които се приписват на точки, отсечки или площни фигури.

Като цяло такава идеализация не се опира на геометрична интуиция и е неестествена. Например странно е фигура, която има лице, да се уеднаквява с отсечка, смятайки, че и едното, и другото може да „има маса“, както и кое да е от двете в същия смисъл да се приравнява на точка.


Лицев център и по-точно лицев център на многоъгълник – напълно геометрично понятие.

Лицев център и равновесна точка: наличието на съответствие означава, че умението да намираме лицев център е полезно като математически инструмент в механиката.

Извеждането на необходимите факти става със средства на „елементарната математика“ (без граничен преход и пр.).

Предполага се известно, че всеки многоъгълник има вътрешност, лице и диагонали – или в крайна сметка теоремата на Жордан за многоъгълник.


Допускаме (несъседни) върхове на многоъгълника да съвпадат като точки, както и страни на многоъгълника да съвпадат или се съдържат една в друга като отсечки. Както и при строгото понятие прост многоъгълник, начупената линия – граница на многоъгълника – не се пресича, но сега може да се „допира“.

От два такива многоъгълника, стига контурите им да не се пресичат един друг, можем да образуваме нов, съединявайки връх на единия с връх на другия от двата многоъгълника чрез каква да е начупена линия (или без такава). Лицето на получения чрез съединяване многоъгълник е сбор от лицата на двата, от които го образуваме. (Съединяващата начупена линия не оказва влияние на лицето.)



Приемаме следните постулати за лицев център на многоъгълник.

Стремим се да изберем постулатите така, че те да посочват прости и по възможност най-малко на брой свойства на лицевия център, а заедно с това да бъдат в съгласие с интуицията ни.

Търси се добра интуитивна обосновка за последния постулат!


Някои означения и факти

\(\ap{\vb{u}\!}{\!\vb{v}}\) – лицево произведение на векторите \(\vb{u}\) и \(\vb{v}\)
(лице със знак на успоредника, построен по двата вектора).

\([P_1P_2\dots{}P_n]\) – удвоено ориентирано лице на многоъгълника \(P_1P_2\dots{}P_n\).

\([P_1P_2\dots{}P_n]=\ap{\vb{P_1}\!}{\!\vb{P_2}}+\cdots+\ap{\vb{P_{n-1}}\!}{\!\vb{P_n}}+\ap{\vb{P_n}\!}{\!\vb{P_1}}\)


Умножавайки удвоеното ориентирано лице

\[[ABC]\F=\F\ap{\vb{A}\!}{\!\vb{B}}+\ap{\vb{B}\!}{\!\vb{C}}+\ap{\vb{C}\!}{\!\vb{A}}\] на \(\tri{}ABC\) с радиусвектора \(\F\displaystyle{}\vb{G}{\F=\F}\frac{\vb{A}{\f+\f}\vb{B}{\f+\f}\vb{C}}3\F\) на медицентъра и лицев център на триъгълника, получаваме

\[[ABC]\ff\vb{G}\F=\F\frac23\F((\ap{\vb{A}\!}{\!\vb{B}})\ff\vb{M\b_{AB}}+(\ap{\vb{B}\!}{\!\vb{C}})\ff\vb{M_{BC}}+(\ap{\vb{C}\!}{\!\vb{A}})\ff\vb{M_{CA}})\ff,\] където

\[\vb{M\b_{AB}}=\frac{\vb{A}{\f+\f}\vb{B}}2, \qquad \vb{M_{BC}}=\frac{\vb{B}{\f+\f}\vb{C}}2 \qquad{} \mbox{и} \qquad{} \vb{M_{CA}}=\frac{\vb{C}{\f+\f}\vb{A}}2\] са радиусвекторите на средите на \(AB\), \(BC\) и \(C\!A\).


Обобщавайки намереното изразяване на лицев център на триъгълник, можем да предположим, че за лицевия център \(G\) на кой да е многоъгълник \(P_1P_2\dots{}P_n\) е вярно

\[\vb{G}\F=\F\frac23\,\frac{(\ap{\vb{P_1}\!}{\!\vb{P_2}})\ff\vb{M_1}+(\ap{\vb{P_2}\!}{\!\vb{P_3}})\ff\vb{M_2}+\cdots+(\ap{\vb{P_n}\!}{\!\vb{P_1}})\ff\vb{M_n}}{[P_1P_2\dots{}P_n]}\ff,\] където \(M_i\) са средите на страните \(P_iP_{i+1}\).

\(\bprf\) Съкратено доказателство чрез индукция: предполагайки, че формулата е вярна за многоъгълници с по-малко от \(n\) страни, представяме \(P_1\dots{}P_n\) като съединение на \(P_1P_2\dots{}P_i\) и \(P_i\dots{}P_n{}P_1\), където \(P_1P_i\) е диагонал. Ако лицевите центрове на \(P_1\dots{}P_i\) и \(P_i\dots{}P_n{}P_1\) са \(G'\) и \(G''\), правата \(G'G''\) трябва да съдържа лицевия център на \(P_1\dots{}P_n\). Показваме, че тази права съдържа и \(G\) от формулата, проверявайки \(\ap{\va{G'G}\!}{\!\va{G''G}}{\F=\F\f}0\). Тъй като диагоналът \(P_1P_i\) е произволно избран, то всяка такава права, от който и диагонал да се поражда, съдържа и \(G\), и лицевия център на многоъгълника, което означава, че \(G\) е тъкмо лицевият център. \(\eprf\)


Това, че лицевият център на триъгълник е медицентърът му може да не бъде отнапред прието, а да бъде изведено, ако приемем например следната система от постулати вместо горната.

Извеждането следва пресмятания върху разбиване на триъгълника, както на схемата.


Всяко от следните равенства еднозначно определя точка \(G\), която е лицевият център на многоъгълника \(P_1P_2\dots{}P_n\).

Всяко от тях и най-вече основното по-горе могат да бъдат използвани като определение на лицев център. В такъв случай постулираните по-рано свойства и останалите равенства ще бъдат следствия от определението.

\[[ZP_1P_2]\ff\va{GZ_1}+[ZP_2P_3]\ff\va{GZ_2}+\cdots+[ZP_nP_1]\ff\va{GZ_n}\,=\,\vb{0}\ff,\] \[[P_1P_2\dots{}P_n]\ff\vb{G}\,=\,[ZP_1P_2]\,\vb{Z_1}+[ZP_2P_3]\,\vb{Z_2}+\cdots+[ZP_nP_1]\,\vb{Z_n}\f,\]

за коя да е точка \(Z\); \(\,Z_i\) е медицентърът на \(\tri{}ZP_iP_{i+1}\).

\[[GP_1P_2]\ff\va{GM_1}+[GP_2P_3]\ff\va{GM_2}+\cdots+[GP_nP_1]\ff\va{GM_n}=\vb{0}\ff,\] \[[P_1P_2\dots{}P_n]\ff\vb{G}\,=\,[GP_1P_2]\,\vb{M_1}+[GP_2P_3]\,\vb{M_2}+\cdots+[GP_nP_1]\,\vb{M_n}\f,\]

където \(M_i\) са както по-горе.

\[[GP_nP_1P_2]\ff\va{GP_1}+[GP_1P_2P_3]\ff\va{GP_2}+\cdots+[GP_{n-1}P_nP_1]\ff\va{GP_n}=\vb{0}\ff,\] \[2\ff[P_1P_2\dots{}P_n]\ff\vb{G}\,=\,[GP_nP_1P_2]\,\vb{P_1}+[GP_1P_2P_3]\,\vb{P_2}+\cdots+[GP_{n-1}P_nP_1]\,\vb{P_n}\f.\]

Ако съединяването на два многоъгълника с лицеви центрове \(G_1\) и \(G_2\) има за резултат многоъгълник с лицев център \(G\), къде точно върху правата \(G_1G_2\) лежи точката \(G\)?

Нека лицата на съставящите многоъгълници са \(S_1\) и \(S_2\), а това на резултата е \(S\). Тогава \(\,S{\,=\,}S_1{\f+\ff}S_2\,\) и

\[S\fff\vb{G}\,=\,S_1\vb{G_1}+S_2\ff\vb{G_2}\ff.\]

или все едно

\[S_1\va{GG_1}+S_2\ff\va{GG_2}=\vb{0}\f.\]

(Следва от формулата за лицев център, а подсказка да формулираме такова твърдение съдържат споменатите по-горе равенства

\[[ZP_1P_2]\ff\va{GZ_1}+[ZP_2P_3]\ff\va{GZ_2}+\cdots+[ZP_nP_1]\ff\va{GZ_n}\,=\,\vb{0}\ff,\] \[[P_1P_2\dots{}P_n]\ff\vb{G}\,=\,[ZP_1P_2]\,\vb{Z_1}+[ZP_2P_3]\,\vb{Z_2}+\cdots+[ZP_nP_1]\,\vb{Z_n}\f,\]

както и разглеждането на частни примери с триъгълник и четириъгълник.)


Забележки и обобщения

▪ Всички формули, а и водещите до тях пресмятания, съдържат само линейни операции и \(\ap{}{}\), следователно изразяват афинни (не метрични) свойства и отношения.

▪ За извеждането на адитивната формула формално разглеждаме \(G_1\), \(G_2\) и \(G\) като единни многоъгълници, но след като тя е доказана, това вече не е необходимо. Вместо това всяко от \(G_1\), \(G_2\) и \(G\) може да бъде ансамбъл – крайно множество от многоъгълници със съответното сумарно лице.
Освен това, понеже адитивността на произведенията лице-център има съдружителното свойство, адитивната формула се обобщава така:

\[S{\ff}\vb{G}\,=\,S_1\vb{G_1}+S_2\vb{G_2}+\cdots+S_n\vb{G_n}\qquad\mbox{или}\] \[S_1\va{GG_1}+S_2\f\va{GG_2}+\cdots+S_n\va{GG_n}\,=\,\vb{0}\f.\]

▪ Лицевият център на многоъгълник не зависи от ориентацията му, но еднаквостта или не на знаците на лицата при съединяване има значение. Именно, ако съединяваме ансамбли с лица \(S_1\) и \(S_2\) и лицеви центрове \(G_1\) и \(G_2\), лицевият център \(G\) на резултата лежи на отсечката \(G_1G_2\) или продълженията ѝ, като я дели в отношение \(|S_2|{\,:\,}|S_1|\) – вътрешно при \(S_1S_2{\,>\,}0\) и външно при \(S_1S_2{\,<\,}0\).

▪ При влагане на многоъгълници един в друг те са с различна ориентация, по отношение на лицевия център влагането има смисъл на изваждане („пробиване“). При влагане във вложен многоъгълник се получава „изваждане от изваденото“ или „връщане на част от взетото“. Ако вложеният многоъгълник има същата ориентация, получава се „наслагване“ на лица („двуслоен“ участък).

▪ Може да се допусне и пресичане между многоъгълници, но при това смисълът на понятието лицев център лесно се размива.


Конкретно за четириъгълник


По-прости от общата формула, например чрез делене по диагонал:

\[\vb{G}\,=\,\frac{[ABC](\vb{A}{\f+\f}\vb{B}{\ff+\ff}\vb{C})+[C\bb{}D\bb{}A](\vb{C}{\f+\f}\vb{D}{\f+}\vb{A})}{3\ff[ABC\bb{}D]}\]

или

\[\va{KG}\,=\,\frac{[ABC]\ff\va{KB}+[C\bb{}D\bb{}A]\ff\va{KD}}{3\ff[ABC\bb{}D]}\ff,\quad\mbox{където \(K\) е средата на \(AC\)}.\]
 










Благодаря за вниманието!