Tема за 4. и 5. клас

Особени числа

Задача ☺. Кои са липсващите числа в таблицата?

Не се съмняваме, че сте открили как се попълва таблицата – под всяко число в първия ред е записано число със същите цифри, но подредени в обратен ред. Иначе казано, ако прочетем число от първия ред “отдясно наляво”, получаваме числото под него. Числата от втория ред ще наричаме преобърнати числа на тези от първия ред. Разглеждаме само числа, които не завършват на 0.

Приемаме, че преобърнатото на едноцифрено число е самото число, например преобърнатото на 3 е 3. При това забелязваме, че преобърнатото на 12321 в таблицата е пак 12321. Числата, които съвпадат със своите преобърнати числа, наричаме огледални. (Кое е другото огледално число в таблицата?)

Сега пресметнете сборовете на числата във всяка от седемте колонки на таблицата. Има ли сбор, записан само с нечетни цифри? Ако сборът на едно число с неговото преобърнато се записва само с нечетни цифри, ще наричаме числото особено. В таблицата особеното число е 123054.

Ето няколко задачи за особените числа.

Задача 1. Има ли число, което е едновременно особено и огледално?

Задача 2. Има ли особено число, което е:

а) едноцифрено;

б) двуцифрено;

в) трицифрено;

г) четирицифрено;

д) петцифрено;

е) седемцифрено;

ж) деветцифрено?

Ако твърдите, че има такова число, дайте пример; ако твърдите, че такова число няма, обяснете защо.

Задача 3. В случаите от задача 2, за които сте отговорили утвърдително, опишете или пребройте всички особени числа със съответния брой цифри.

Числата, които се записват с n на брой цифри се наричат n–цифрени.

Задача 4. За кои четни числа n съществува n–цифрено особено число?

Задача 5. Кои са всички n, за които няма n –цифрено особено число?

Задача ☻. Кои са липсващите числа в таблицата?

Открихте ли закономерността? Първата цифра на числото в първия ред се премества в края и така се получава числото под него; по същия начин от числото във втория ред се образува числото в третия ред и т.н. Образно казано, цифрите се въртят в кръг – затова наричме числата във всяка колонка кръгови едно за друго. По същия начин се определят кръговите числа на число с произволен брой цифри (например 123456). Първото кръгово число е избраното число (123456); като преместим първата отляво цифра след последната отдясно, получаваме второто (234561); третото число се образува по същия начин от второто (345612) и т.н. Разглеждаме само числа, в чийто запис не участва 0.

Задача 6. Докажете, че ако A е n–цифрено число, то (n+1)–то кръгово число на A е също A.

Ако сборът на n поредни кръгови числа на n-цифрено число се записва само с нечетни цифри, ще наричаме числото свръхособено. Например, числото 124 е свръхособено (124+412+241=777).

Задача 7. Колко са трицифрените свръхособени числа?

Задача 8. Има ли свръхособено число, което е:

а) четирицифрено;

б) петцифрено;

в) шестцифрено;

г) седемцифрено;

д) осемцифрено;

е) деветцифрено?

Задача 9. В случаите от задача 7, за които сте отговорили утвърдително, опишете или пребройте всички свръхособени числа със съответния брой цифри.

Задача 10. Докажете, че не съществува свръхособено число, записано с 10 или повече цифри.

Обратно