Втора тема за 4. – 5. клас
Нека за числото 1122344556 запишем последователно двуцифрените числа, които се образуват от две поредни негови цифри (четени отляво надясно):
(1) 11, 12, 22, 23, 34, 44, 45, 55, 56.
Последната цифра на всяко от тези числа (освен последното) е първа за числото, записано след него. Ще казваме, че числото 1122344556 поражда веригата от двуцифрени числа (1).
Като запишем последователно трицифрените числа, които се образуват от три поредни (отляво надясно) цифри на числото 1122344556:
(2) 112, 122, 223, 234, 344, 445, 455, 556,
ще наричаме (2) верига от трицифрени числа, породена
от числото 1122344556.
По същия начин определяме веригата от дву-, три-, четирицифрени числа, породена от произволно число (записано с поне четири цифри).
Задача 1. Числото 11221 поражда веригата от двуцифрени
числа 11, 12, 22 и 21, в която по
веднъж са включени всички двуцифрени числа, записани само с цифрите 1 и 2. Намерете всички числа, които пораждат верига
с това свойство.
Задача 2. Намерете най-малкото число, пораждащо верига от
трицифрени числа , в която се срещат всички трицифрени числа, записани само с
цифрите 1 и 2.
Ще наричаме пълни числата, записани с цифрите 1, 2 и 3, всяко от които поражда верига от двуцифрени числа, включваща по веднъж всяко двуцифрено число, записано само с цифрите 1, 2 и 3.
Задача 3. Кое е най-голямото пълно число?
Задача 4. Колко пълни числа започват с 11?
Ще наричаме интересни числата, които пораждат верига от трицифрени числа със свойствата:
o
всеки две числа
от веригата са различни,
o в записа на всяко число от веригата няма повтарящи се цифри.
Задача 5. Намерете най-голямото интересно число, в чийто запис участват само цифрите 1, 2 и 3.
Задача 6. В записа на интересно число участват само
цифрите 1, 2, 3 и 4. Най-много колко цифрено може да бъде това число?
Задача 7. Намерете най-голямото интересно число, в
чийто запис участват само цифрите 1, 2, 3 и 4.
Ще наричаме свръх пълни числата, записани с цифрите 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, всяко от които поражда верига от четирицифрени числа, включваща по веднъж всяко четирицифрено число, в чийто запис не участва цифрата 0.
Задача 8. Колко цифрено може да бъде свръх пълното
число?
Задача 9. Докажете, че ако изтрием първите три цифри на свръх
пълно число, в полученото число всяка цифра от 1 до 9 ще се среща равен
брой пъти.
Задача 10. Докажете, че във веригата от трицифрени числа, породена
от свръх пълно число, първото и последното число са равни.