“Дневник” 1.238 (27 декември 2001), стр. 8

За тези, които мислят, че математиката е “суха”

Аз не съм математик — сметките ме отегчават.
Героиня на Мадона от филма “Dick Tracy”, 1990

Задачи и сметки

Изявления от този тип се чуват често — дори от образовани хора, които ги изричат с особена гордост. Като че ли омразата към математиката е един вид доказателство за артистичност и въображение. В същото време едва ли някой се гордее с това, че не разбира от литература, музика или живопис. Няма хора, които да са напълно равнодушни към музиката, но това не означава, че всички сме музикално надарени. Затова пък се смята, че за да оцени човек красотата на математиката, се изисква специфичен талант. Ето защо изключването на математиката от сферата на интелектуалните дейности, заслужаващи внимание, изглежда не тревожи особено обществото. Ако някой все пак изрази възхищение от красотата и дълбочината и`, ще го сметнат за “сух” експерт или в най-добрия случай — за особняк с екзотично хоби. Понякога може да чуете, че математиката е това, с което се занимават математиците, а математици са онези, които не питат що е математика… Малко като порочен кръг, нали? Но с какво всъщност се занимават математиците, ако не да решават задачи? Работата е там, че изразът решаване на задачи означава доста различни неща за различните хора. Ето как си е представял решаването на задачи художникът Богданов-Белски, чиято картина “Устно пресмятане” е изложена в Третяковската галерия. Учителят от картината е известният педагог Рачински, а на черната дъска е записан аритметичен израз, за пресмятането на който е достатъчно да познаваме действието степенуване. (То в днешните учебни програми се изучава в пети клас.) А ако разполагаме и с калкулатор, работата ни се улеснява още повече.

На подробностите няма да се спираме, но ще отбележим, че тук става дума за т. нар. числов пример. Една задача е истинска, когато решаването и` изисква творчески усилия. Впрочем в математиката има две категории задачи: такива, които се решават с техника, и други — за които се иска прозрение. Към коя категория се отнася дадена задача зависи от това, какво знае човек. В този смисъл нещо, което е задача за едни, за други представлява рутинно излагане на логически свързана последователност от разсъждения и пресмятания.

Превръщането на задача, която по-рано е изисквала прозрение, в задача, която се решава само с техника, може да бъде сериозна крачка напред.

Мнозина снизходително се усмихват, като чуят, че делението е споменато в някои учебници от 19-и век като аритметично действие, което “не е за всякоя глава”… Ако то вече не е интелектуално изкуство, а задача, достъпна за деца, то е, защото е намерен алгоритъм (един вид рецепта) за това, какви елементарни действия трябва да се извършат, за да се получи резултатът. По подобен начин, ако се алгоритмизират например известни аспекти на композирането, някои музикални задачи, за които досега се е изисквало прозрение, ще се решават само с техника. Друг е въпросът, че хората, които са посветили сериозни усилия за развиването на такъв тип прозрение, може да не са във възторг от възможността да се алгоритмизират елементи от процес, считан дотогава за изцяло творчески. Най-вероятно е те да твърдят, че няма алгоритъм, който да обхване или замести тяхното прозрение. Има учени, според които за решаването на всички задачи (били те математически или от областта на другите изкуства) може да се намери подходяща техника и това, че до момента не сме я открили, се дължи на моментни пропуски в системата ни от знания — нещо, което ще бъде преодоляно в следващите няколко хилядолетия. Според други мнения съществуват задачи, които просто не могат да бъдат решени, колкото и упорито да ги атакуваме.

Това, което на английски се нарича problem solving, преведено буквално е “решаване на задачи”, но едно по-истинско (и по-духовито) тълкуване би било: това, което експертът прави, когато не знае какво да прави, т. е. това е умението да се справяш със ситуации, за които няма рецепта. В такива случаи ни помага въображението. Не случайно великият математик Давид Хилберт казал за свой ученик: “Той нямаше достатъчно въображение и затова стана поет…”. Друг известен математик, Годфрид Харолд Харди, определя математиците като хора, които също като художниците създават структури, но по-трайни, защото са направени от идеи. Математиката в по-стари времена е заемала централно място сред изкуствата, а днес повечето хора смятат, че тя е изкуството да се правят сметки. Но за това едва ли са виновни те. След толкова реформи в математическото образование по цял свят специалистите твърдят, че ако обучението по изкуствата се водеше по същия начин, то би се превърнало в изучаване на техниките за дялане на камъни и смесване на бои.

Когато през 17 в. известният математик Пиер дьо Ферма написал в полето на една от страниците на монографията “Аритметика” от Диофант, че мястото, с което разполага, е крайно недостатъчно, за да изложи доказателство на неразрешимостта в цели числа на уравнението xⁿ + yⁿ= zⁿ при n > 2, малцина са осъзнали колко значим ще се окаже неговият коментар за развитието на математиката през следващите 350 години. Днес не знаем със сигурност дали Ферма наистина е притежавал решение на тази задача, станала по-късно известна като Великата теорема на Ферма. По-важното е, че Великата теорема на Ферма е стимулирала математическото мислене и изследванията в областта на математиката в продължение на няколко века. Поради достъпната и` формулировка и поради огромната награда, обещана на този, който я реши пръв, тази задача била атакувана и от много любители. През 1993 г. Ендрю Уайлс, професор по математика в Принстънския университет, по време на лекция в Кеймбридж излага доказателството на предизвикателството на Ферма. В случая става дума за истинска задача. Но не обемът на решението, изложено върху около 200 страници, превръща Великата теорема на Ферма в задача. Нито нейната трудност. Защото никак не е лесно пресмятането например на 2001-ата степен на числото 2001, особено ако не разполагаме с изчислителна техника. Тази трудност обаче е от техническо естество. Трудностите при решаването на истински задачи са в намирането на подхода, в организирането на дадените условия, в използването на известни и вече доказани твърдения и факти, както и в подреждането им в логически обоснована последователност.

Примерът със задачата от картината “Устно пресмятане” и Великата теорема на Ферма са двете крайности на това, което широката публика е свикнала да нарича задача. Оттук обаче не следва, че математиката е по средата. Не следва и това, че се налага да решавате задачи или да ставате математик, за да откриете магията на математиката. За тази магия ни се иска да разкажем на следващите редове.

Птоломей и Клеопатра

Ето една задача, чийто автор е езиковедът Алфред Журински.

Дадени са думи на езика суахили и техните преводи, представени в друг ред:

mtu, mbuzi, jito, mgeni, jitu, kibuzi
великан, козичка, гост, коза, човек, голяма река

Определете кой превод на коя дума отговаря.

Езикът суахили е широко разпространен в Източна Африка, където е роден език на 5 млн. души, а още 30 млн. редовно си служат с него. Тази задача обаче е предназначена за хора, които не го познават и нямат под ръка негов речник. Иначе не би била задача, а упражнение в прилагането на придобити умения, в прилагането на познати рецепти. Имаме само данни, в които трябва да открием някакви сходства и съответствия.

За да установим обаче съответствията между двете групи данни (думите на суахили и преводите им), трябва първо да забележим закономерностите вътре във всяка група — това, че някои думи имат общи начала или краища (m-buzi, m-geni; ji-tu, m-tu), и това, че някои от преводите имат по нещо общо в смисъла с други (козичка значи малка коза, а великан — голям човек). Тези закономерности придават на всяка група определена вътрешна структура, която можем да представим като таблица. За да получим отговора, остава да съпоставим двете структури, като наложим двете таблици една върху друга.

Изглежда, че всяка дума на суахили се състои от две части — една, която показва размера, и друга, която задава основното понятие. В българската дума козичка наставката -ичк също изразява умалителност, както ki- в kibuzi, но в коза нищо не показва нейното отсъствие, докато в mbuzi представката m- прави точно това.

Дали можем да продължим да запълваме полетата на таблиците? Предположението, че mto е река, е вярно. За kito и kitu не бихме познали — тези думи значат съответно скъпоценен камък и вещ, предмет; рекичка е kijito, а човече, джудже — kijitu. Това е в съответствие с правило, което не е отразено в задачата.

Нямаше ли по-малко трудоемък начин да разберем отговора на задачата? Речници на суахили съществуват, както и хора, които знаят езика. Но не с всички задачи е така. Когато например Жан-Франсоа Шамполион приложил същия метод, за да разчете египетските йероглифи, той извършил нещо, за което от две хилядолетия никой на света не знаел как може да стане. Като начало той съпоставил две имена, едното (

) от Розетския камък, другото (

) от обелиска от Филе, за които въз основа на гръцките текстове, съпровождащи двата йероглифни надписа, изглеждало вероятно, че принадлежат съответно на Птоломей и Клеопатра. Шамполион предположил, че повтарящите се йероглифи отговарят на еднаквите звукове, а значи и на еднакви букви в гръцката форма на имената — например легналият лъв, който е на четвърто място в Птоломей и на второ място в Клеопатра, отговаря на л, двата орела в Клеопатра — на а и така нататък.

А какви са всъщност тези задачи, лингвистични или математически? Бездруго първото, защото в тях става дума за езикови обекти — за строежа и значението на думи от човешки езици, за представянето им в писмена форма. Но и второто също — с какво се занимава математиката, ако не с откриване на структури, закономерности и съответствия?

Намирането на съответствие може да не е еднозначно в даден контекст. Да разгледаме две задачи, предложени от видния специалист по изкуствен интелект Дъглас Хофстадер:

Един възможен отговор (цифрата 4) е свързан с избора на същия обект, а друг (цифрата 3) — с естественото за човека желание да запази смисъла на ролята, която този обект има в контекста (най-близо до центъра).

Това, което за действителността на САЩ се свежда до една единствена роля, в контекста на Великобритания се трансформира в 4 възможни роли в зависимост от това, кое възприемаме като централна политическа фигура — монарха или министър-председателя, и от това, дали държим повече на пола или на положението.

Да се открие аналогия между две множества от обекти е интересна задача от областта на изкуствения интелект.

Съпоставянето на два обекта е свързано с едно фундаментално понятие от математиката — функцията. Когато чуят тази дума, повечето ученици си представят квадратна или тригонометрична функция. Но обектите в съответствието може да не са числа, а да са зададени малко по-нетрадиционно, например:

Преведено на малко по-човешки език, това съответствие означава, че заместваме всяка отсечка с фигурата “отсечка с квадратна чупка”, където чупката има квадратна форма с дължина една трета от отсечката. Да започнем с една отсечка и да видим как изглеждат нейните превъплъщения след неколкократно прилагане на функцията F:

Тези линии се наричат криви на Кох съответно от първо, второ, трето и четвърто поколение. Те принадлежат на по-общ клас от криви, известни като фрактали.

А ето един квадрат и един осмоъгълник, чиито страни са заместени с криви на Кох от пето поколение (фиг. 3):

Кажете сега, че създателките на прекрасните български шевици не са прилагали математика…

Влюбените костенурки

Една задача, известна от дълбоката древност, която ще срещнете в книгите по популярна математика, е задачата за влюбените костенурки.

Задачата може да се реши по различни начини (в някои от които се използват знания от т.нар. висша математика), но добра представа за движението може да се получи с един сравнително прост компютърен модел, при който се движат костенурки — модели на робот. Като даваме команди на всяка костенурка да се завърти към любимата си и да се премести една стъпка напред и повтаряме тези команди достатъчен брой пъти, получаваме следната картина (фиг. 4):

Следата, която оставя всяка костенурка, е част от известна крива — т. нар. логаритмична спирала. Ако съединим с отсечки последователните положения на костенурките, ще забележим, че те са винаги във върховете на квадрат с намаляваща дължина на страната. Страната на този квадрат клони към нула със скоростта на движението на костенурките (фиг. 5).

Логаритмичната спирала се среща в природата — такава е формата на черупката на морския охлюв наутилус (фиг. 6). Използваме я и в малко по-прозаичен (но все пак важен) контекст — когато отразяваме нарастването на даден влог с фиксирана сложна лихва (фиг. 7).

Когато правим компютърен модел на една задача, обикновено нямаме за цел да решим само нея, а цял клас сродни задачи. Тук можем лесно да меним началните условия. Например може костенурките да се обичат накръст (първата — третата, а втората — четвъртата). Или пък можем да накараме една от тях да мрази съседката си и да бяга от нея (фиг. 8). Вижда се, че в този случай тя става лидер — всички останали тръгват след нея… Можем да варираме и броя им и да съединяваме последователните им положения (фиг. 9).

Нещо повече, интересните графики, които се получават, като варираме началните условия, ни дават идея, че този модел може да служи за генериране на компютърни вариации на тема “Los Angeles” (фиг. 10) — картина на художника Виктор Вазарели, чиито картини създават изключителна илюзия за обемност. В случая разполагаме 6 костенурки във върховете на правилен шестоъгълник и свързваме с отсечки позициите на костенурките след всеки такт, като сменяме алтернативно цвета на следата (фиг. 11). Оттук нататък можем да правим вариации, като меним различни параметри в началната постановка на задачата (например можем да меним силата на привличане — фиг. 12). Накрая можем да разположим костенурките в случайно избрани точки на екрана. При достатъчно голям брой експерименти могат да се получат и реалистични фигури (фиг. 13).

Надяваме се, че при достатъчно добро обучение по математика, в което дигиталните технологии бъдат използвани за стимулиране на изследователския дух, учениците ще погледнат с нови очи математиката — като област, в която могат да се правят интересни експерименти и да се формулират хипотези. И дори да им се случи да преоткрият Америка, учениците може да изпитат радост от самия откривателски процес и да придобият навици на творческо мислене.

Може и да не станат математици, съизмерими с художници от класата на Моне, Мондриан и Вазарели, но поне ще имат шанса да станат ценители на математиката като изкуство. А това е не по-малко важно.

Трима другари,
видни “сухари”:
Сава Гроздев, Иван Держански, Евгения Сендова


Фиг. 2


Фиг. 3


Фиг. 6	Фиг. 7


Фиг. 8	Фиг. 9