ЕДНАКВОСТИТЕ КАТО ПРОИЗВЕДЕНИЯ НА ОСЕВИ СИМЕТРИИ

 

 

Нека  и  са фигура и образът й при ротация. Да се опитаме да получим  от  чрез произведение на две осеви симетрии. Ще използваме като фигура триъгълник.

 

Построяваме  и образът му  при ротация с център  и ъгъл  .  Построяваме две прави  и , образът  на  при осева симетрия с ос  , образът  на  при осева симетрия с ос  . Стремим се да постигнем съвпадане на  и  чрез промяна на положението на правите  и  .

 

Ротация като произведение на две осеви симетрии

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

 Използвай навигационната лента и проследи стъпките.

 

 

 

Дали това е единствената възможност за представяне на ротацията като произведение на две осеви симетрии, т.е. съществува ли друго разположение на правите  и , при което  и  ще съвпаднат?

 

Забелязваме, че и в двата намерени случая правите  и  се пресичат в центъра на ротацията . Затова за удобство правим нова конструкция, при която правите  и  минават през центъра на ротацията . Изследването вече не само се опростява.

 

 Съвпадане на пресечната точка на двете оси на симетрии с центъра на ротацията

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

 

 

 

При конкретна позиция на правата , при движението на  забелязваме, че всъщност триъгълникът се върти около . Като използваме  възможността за оставяне на следа при движение на обект, илюстрираме различни положения на  (в новата конструкция това е образът на  при осева симетрия с ос ), при фиксирана права  и променяща се права  .

 

 

 

 Обази при фиксиране на едната ос на симетрия и промяна на втората ос

 

Всъщност тази конструкция дава идея и за доказателството на издигнатата хипотеза: ротацията може да се представи като произведение на две осеви симетрии.

Преди да се премине към доказателство, е добре да се направи проверка и при други ъгли на ротацията, за да засилим интуитивното си убеждение за верността на хипотезата. Или пък да я отхвърлим, ако получим контрапример.  В такива случаи може да се провери дали за някои частни случаи е изпълнена и направи нова хипотеза ..., но нашият случай не е такъв. Тъй като сме използвали параметър (чрез плъзгач) за този ъгъл, тази проверка се свежда до промяна на ъгъла чрез плъзгача.

 

Освен това си струва да продължи търсенето на закономерности чрез динамичната конструкция, защото едва ли е случайна връзката между осите  и  на двете осеви симетрии.

Да проверим има ли някаква закономерност между двете оси на симетрия.

За целта наблюдаваме градусната мярка на ъгъла между двете прави, когато  и  съвпадат. Забелязваме, че този ъгъл е два пъти по-малък от ъгъла на ротацията.