ЕКСПЕРИМЕНТИ С ПРОИЗВЕДЕНИЯ НА ЕДНАКВОСТИ

Произведение (композиция) на две еднаквости  и , се означава  и чете „ след ”.

В средата GeoGebra използваме създадените бутони за построяване на образ на обект при транслация , централна симетрия , осева симетрия  и ротация .

Произведение на две транслации

За изследване на произведението на две транслации построяваме образ  на фигура  при транслация с вектор  и след това, образ  на  при транслация с вектор , което ще запишем .  Обръщаме внимание, че при  се извършва първо , а след това полученият вече образ се подлага на .

Потърсете:

• при какви условия съвпадат  и

• какво се случва, когато векторите   и са успоредни

• какъв ще е резултатът, ако първо се извърши транслация с вектор , а после – с вектор

• дали произведението на две транслации е транслация

Формулирайте хипотези.

Изследване на произведение на две транслации

Смяната на векторите или на фигурата не променя изводите и може да се формулират:

Хипотеза 1:  , т.е., произведението на две транслации е комутативно.

Хипотеза 2: Преобразуванието, при което  е образ на , е отново транслация с вектор, равен на сбора на векторите  и .

Докажете.

 Въпроси:

Дали и за останалите конкретни еднаквости произведението е комутативно?

Произведението на две конкретни еднаквости от един вид дали е еднаквост от същия вид?

Произведение на две осеви симетрии

За осевата симетрия например се установява, че произведението на две осеви симетрии не е осева симетрия. Този факт може да се докаже по различни начини. Подходящо е да се използва контрапример за доказателство, а конкретно за осевата симетрия за доказателството може да се използва само промяната на ориентацията на фигурите.

 Произведение на две ротации

Разгледайте:

ротации с общ център,

ротации със специален сбор на ъгли.

Хипотеза 1: В общия случай произведението на две ротации не е комутативно.

Хипотеза 2: Произведението на две ротации с общ център е комутативно.

Произведение на две централни симетрии

При изучаване на елементи от аналитичната геометрия, отново може да се разгледат тези произведения и извършат доказателства с други средства.

До тук изследвахте произведения на две еднаквости от един вид.

Продължавате с изследване на произведения на две еднаквости от различен вид, например на симетрия и транслация.

Първо се установява, че това произведение е еднаквост.

Произведение на осева симетрия и транслация

В общия случай произведението на симетрия и транслация не е комутативно.

Равенство  се получава в случая, когато векторът  и оста  са успоредни.

Това е дало основания в геометрията да се отдели и назове с име тази еднаквост, а именно – транслационна симетрия    или плъзгащо отражение. Произведението на осева симетрия с ос  и транслация с вектор , при  и , се нарича транслационна симетрия.

 Произведения на три или повече еднаквости

Проект.

Анимация с произведение на три еднаквости