ЕКСПЕРИМЕНТИ С ПРОИЗВЕДЕНИЯ НА ЕДНАКВОСТИ

 

 

Произведение (композиция) на две еднаквости  и , се означава  и чете  след .

В средата GeoGebra използваме създадените бутони за построяване на образ на обект при транслация , централна симетрия , осева симетрия  и ротация .

 

Произведение на две транслации

За изследване на произведението на две транслации построяваме образ  на фигура  при транслация с вектор  и след това, образ  на  при транслация с вектор , което ще запишем .  Обръщаме внимание, че при  се извършва първо , а след това полученият вече образ се подлага на .

 

Потърсете:

Формулирайте хипотези.

 

 

 

Изследване на произведение на две транслации

 

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) използвай навигационната лента за стъпките

 

 

Изследване на произведение на две транслации за комутативност

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) използвай навигационната лента за стъпките

 

 

 

Смяната на векторите или на фигурата не променя изводите и може да се формулират:

Хипотеза 1:  , т.е., произведението на две транслации е комутативно.

Хипотеза 2: Преобразуванието, при което  е образ на , е отново транслация с вектор, равен на сбора на векторите  и .

Докажете.

 

 Въпроси:

Дали и за останалите конкретни еднаквости произведението е комутативно?

Произведението на две конкретни еднаквости от един вид дали е еднаквост от същия вид?

 

Произведение на две осеви симетрии

За осевата симетрия например се установява, че произведението на две осеви симетрии не е осева симетрия. Този факт може да се докаже по различни начини. Подходящо е да се използва контрапример за доказателство, а конкретно за осевата симетрия за доказателството може да се използва само промяната на ориентацията на фигурите.

 

изследване на произведение на две осеви симетрии

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

 използвай навигационната лента за стъпките

 

изследване на произведение на две осеви симетрии за комутативност

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) използвай навигационната лента за стъпките

 

 

 Произведение на две ротации

 

 

изследване на произведение на две ротации за комутативност

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

 

Разгледайте:

ротации с общ център,

ротации със специален сбор на ъгли.

 

 

Хипотеза 1: В общия случай произведението на две ротации не е комутативно.

 

Хипотеза 2: Произведението на две ротации с общ център е комутативно.

 

 

 

 

Произведение на две централни симетрии

 

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) използвай навигационната лента за стъпките

 

 

При изучаване на елементи от аналитичната геометрия, отново може да се разгледат тези произведения и извършат доказателства с други средства.

 

До тук изследвахте произведения на две еднаквости от един вид.

Продължавате с изследване на произведения на две еднаквости от различен вид, например на симетрия и транслация.

Първо се установява, че това произведение е еднаквост.

 

Произведение на осева симетрия и транслация

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) използвай навигационната лента за стъпките

 

В общия случай произведението на симетрия и транслация не е комутативно.

 

 

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)   използвай навигационната лента за стъпките

 

 

Равенство  се получава в случая, когато векторът  и оста  са успоредни.

 

Това е дало основания в геометрията да се отдели и назове с име тази еднаквост, а именно транслационна симетрия    или плъзгащо отражение. Произведението на осева симетрия с ос  и транслация с вектор , при  и , се нарича транслационна симетрия.

 

 

 

 

 Произведения на три или повече еднаквости

Проект.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

 

Анимация с произведение на три еднаквости