ЕКСПЕРИМЕНТИ С ПРОИЗВЕДЕНИЯ НА ЕДНАКВОСТИ
Произведение (композиция) на две еднаквости и , се означава и чете „ след ”.
В средата GeoGebra използваме създадените бутони за построяване на образ на обект при транслация , централна симетрия , осева симетрия и ротация .
Произведение на две транслации
За изследване на произведението на две транслации построяваме образ на фигура при транслация с вектор и след това, образ на при транслация с вектор , което ще запишем . Обръщаме внимание, че при се извършва първо , а след това полученият вече образ се подлага на .
Потърсете:
при какви условия съвпадат и
какво се случва, когато векторите и са успоредни
какъв ще е резултатът, ако първо се извърши транслация с вектор , а после – с вектор
дали произведението на две транслации е транслация
Формулирайте хипотези.
Изследване на произведение на две транслации
използвай навигационната лента за стъпките |
Изследване на произведение на две транслации
за комутативност използвай навигационната лента за стъпките |
Смяната на векторите или на фигурата не променя изводите и може да се формулират:
Хипотеза 1: , т.е., произведението на две транслации е комутативно.
Хипотеза 2: Преобразуванието, при което е образ на , е отново транслация с вектор, равен на сбора на векторите и .
Докажете.
Въпроси:
Дали и за останалите конкретни еднаквости произведението е комутативно?
Произведението на две конкретни еднаквости от един вид дали е еднаквост от същия вид?
Произведение на две осеви симетрии
За осевата симетрия например се установява, че произведението на две осеви симетрии не е осева симетрия. Този факт може да се докаже по различни начини. Подходящо е да се използва контрапример за доказателство, а конкретно за осевата симетрия за доказателството може да се използва само промяната на ориентацията на фигурите.
изследване на произведение на две осеви симетрииизползвай навигационната лента за стъпките |
изследване на произведение на две осеви симетрии за комутативностизползвай навигационната лента за стъпките |
Произведение на две ротации
изследване на произведение на две ротации за комутативност |
Разгледайте:
ротации с общ център,
ротации със специален сбор на ъгли.
Хипотеза 1: В общия случай произведението на две ротации не е комутативно.
Хипотеза 2: Произведението на две ротации с общ център е комутативно.
Произведение на две централни симетрии
използвай навигационната лента за стъпките |
При изучаване на елементи от аналитичната геометрия, отново може да се разгледат тези произведения и извършат доказателства с други средства.
До тук изследвахте произведения на две еднаквости от един вид.
Продължавате с изследване на произведения на две еднаквости от различен вид, например на симетрия и транслация.
Първо се установява, че това произведение е еднаквост.
Произведение на осева симетрия и транслация
използвай навигационната лента за стъпките |
В общия случай произведението на симетрия и транслация не е комутативно.
използвай навигационната лента за стъпките |
Равенство се получава в случая, когато векторът и оста са успоредни.
Това е дало основания в геометрията да се отдели и назове с име тази еднаквост, а именно – транслационна симетрия или плъзгащо отражение. Произведението на осева симетрия с ос и транслация с вектор , при и , се нарича транслационна симетрия.
Произведения на три или повече еднаквости
Проект.
Анимация с произведение на три еднаквости