Доказателство

1 начин

Когато , е вярно ,  и .

Ако , то , , .

Затова преформулираме задачата като задача за доказателство, т.е. с искане да се докаже, че най-малкото лице е  и се постига при .

Нека . Тогава  и . От  .

Триъгълниците  и  са подобни, затова , т.е. .

Така , а .

Нека , тогава .

 Задачата се свежда до доказване на , където .

 при , т.е.  .

Обръщаме внимание, че  е условието, което осигурява построимостта на точка .

 и нека , т.е. разглеждаме .

То е еквивалентно на , което е вярно за всяко . Равенство се постига при , т.е. .

Което означава, че . Следователно най-малкото лице на четириъгълник  е  и то се постига при .

Ако правоъгълникът е квадрат, единствената възможност за сгъване е по диагонала  на квадрата.

Ако разглеждаме „много” дълъг правоъгълник , четириъгълник   се появява от   до  съвпадането на  с  , като вече установихме кога се постига минимално лице. Така, ако при  симетралата на  пресича страната , се постига минимално лице.

Ако правоъгълник  не е „много” дълъг – т.е. , но симетралата на  пресича не страната , а продължението й, тогава линията на прегъване ще минава през точка .  

Граничната точка, която разделя двата случая, е точка  и т.к.  , при  минимално ще е лицето, когато симетралата на  минава през върха .

Случаят е случаят с „много” дълъг правоъгълник, който вече разгледахме.

При  разсъжденията са аналогични. От гледна точка на динамичния чертеж и визуализирането, четириъгълник  в този случай се появява, когато точка е върху . Ясно е, че се установява същата закономерност – сега   и  при минимално лице на  и „много” дълъг правоъгълник .

2 начин

Нека . , а . От   получаваме , откъдето .

Така , а .

Трябва да  докажем, .  

което е вярно за всяко

 и равенство се постига при

, т.е.

,