Мултимедиен фонд BellKnow

Математически анализ на геометрично построяване на формата на камбана

Все още няма доказателства за съществуването на стандартни техники за моделиране на камбана. До този момент всички съществуващи описания не са нищо повече от чисто емпирично представяне на образуването на занаятчийски техники. Познатите методи за построяване на формата на тялото се основават на композиционните свойства на модулния принцип: основните части на формите са подчинени на една планировъчна схема, която се разделя на модули. Големината на модулите се избира в зависимост от тежестта на камбаната, по специализирани таблици*. Най-известният и логически издържан метод за констроиране на формата на камбана е на руския учен В. С. Кнаббе. Неговото описание е най-подходящо за математически анализ, защото изгражда първо за основа осовата линия (крива) на профила на стената на камбаната и след това като производни на тази линия (крива) се построяват вътрешения и външния профил. Следва да се отбележи, че ключът към идентифицирането на "скритата" геометрия на формата на камбана е осовата линия, която е крива, подчинена на логаритмична функция.
Следващият пример показва построението на профила на една камбана по метода на Кнаббе. Първо се построява права, която ще свързва основата на камбаната с нейния горен "ръб" (права PQ на последващите схеми и абциса на координатната система за построение). Избира се първоначална (където е основата на камбаната) и крайна (горния "ръб" или венец на камбаната) точка и разстоянието между тях се дели на 8 равни части (осем модула). От всяко деление (точка) между началната и крайната точка се построява пенпердикуляр на определено разтояние (примерните разстояния по метода на Кнаббе са дадени в таблица 1). По така получените точки се построява крива, която е основа на профила на стената на камбана. Следва да се построят окръжности с център тези точки и определен радиус (примерните радиуси са дадени в таблица 1). В таблица 1 са дадени примерни стойности на коефициенти на стойностите на дължините на пенпердикуляра построен върху деленията на правата PQ и стойностите на радиусите на построените окръжности, които се умножават по определен коефициент спрямо големината на търсената форма на камбана.

Координати	Абциса (модул)	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5	5.5	6	6.5	7	7.5	8	8.74
Координати	Ордината (части на дължина на отс.)	0.4142	0.686	0.867	0.974	1.025	1.030	1.000	0.995	0.875	0.775	0.665	0.530	0.390	0.235	0.075	0.78
Части от радиуса δ		1.000	0.800	0.653	0.547	0.474	0.423	0.380	0.351	0.327	0.301	0.291	0.286	0.279	0.275	0.267	0.333

Коефициенти на построение на кривата на профила на камбана

Схеми на построение на стената на камбана по метода на Кнаббе

Следващата стъпка е да "завъртим" схемата в нова координатна система, където центърът на системата е в точка О (първа точка от правата PQ, разделена на модули) и абцисата да е основата на камбаната. От което следва, че ъгълът на завъртане е β=900–α където α е ъгълът в основата на профила. Преобразуванието на новите точки от правата PQ в новопостроената координатна система може да изразим така:
(X_i^',y_i ) (i=1,2,…,8) и (x_i,y_i ) (i=1,2,…,8)
x_i^' (x_i-x_o )cosβ-( y_i-y_o)sinβ,
y_i^'=-(x_i-x_o )sinβ-(y_i-y_o )cosβ.
От така построените криви се наблюдава, че кривите могат да се изразят със степенна функция y(x)=b/((x+m)^n ) , която е позната в музикалната акустика като „музикално-целесъобразна горна форма (рупор)“ или чрез логаритмична спирала изразена в полярна координатна система с уравнение от вида ρ=ρ_o q^(φ/2π) , където ρо е полярен радиус на някоя точка в качеството на начало и коефициент на ръста на спиралата – q. Логаритмичната спирала може да се изрази чрез ρ=ρ_o e^kφ , където k е параметър изразен чрез коефициента на ръста – съотношението: k=lng/2π .
Така изразените криви са представени на фигура 2.

Схеми на построение на осовата крива на стената на камбана чрез горна форма (рупор) и логаритмична спирала

Методът на Кнаббе за построяване на профила на стената на камбаната ни разкрива колко дълбоки идеи и знания се съдържат в работата на старите майстори камбанолеяри. Приложението на логаритмичната спирала и днес се използва в модерната техническа акустика за изработка на съвременни музикални инструменти, дори се използва в корабостроенето и самолетостроението със своите уникални свойства на отношенията водоотместване/обем и триене/съпротивление.

Експериментална страница, мултимедиен фонд BellKnow.
Изградена от екип на ИМИ, БАН