Олимпиади по математика за 9. клас - 2000 година
Втори кръг на XLIX Републиканска олимпиада по математика
19 март 2000 г.
1. задача
а) Докажете, че за всяко m О R и
m > 0 и за всяко n О R и n О (0,1)
e изпълнено равенството:
б) Дадено е
уравнението 2x2 - 2nx + 1 = 0, където n е цяло
число. Ако x1 и x2 са корени на уравнението,
да се докаже, че числото А = x13 +
x12x2 +
x1x22 +
x23 се дели на 6.
2. задача
Даден е трапец АBCD с дължини на основите AB
= а, CD = b.
а) Ако отсечката MN е успоредна на
AB и точките M и N са съответно от бедрата AD и
BC, намерете дължината на MN, ако SABNM :
SMNCD = p : q.
б) Ако трапецът АBCD е
разделен на три равнолицеви части с две прави, успоредни на основите, намерете
дължините на отсечките, които бедрата на трапеца отсичат от тези прави.
3. задача
Нека М е медицентърът на равностранния
DABC. Ако P е точка от страната AC такава, че
AP : PC = 4 : 1 и правата PM пресича страната AB в
точка N, намерете лицето на DABC, ако MN = 1 cm.