Тема за 6. и 7. клас
Числата Harshad
През 1955 година индийският математик Капрекар публикува статия за числата, които се делят на сбора от своите цифри. Възхитен от свойствата им, Капрекар нарича тези числа Harshad (харшад), което в превод от санскритски означава “огромна радост”. По-малките от 100 Harshad-числа са:
(☼) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90.
Числото 48, например, е 4 пъти по-голямо от сбора от цифрите си, а числото 21 е 7 пъти по-голямо от сбора от цифрите си. Ще наричаме числата, които са k пъти по-големи от сбора на цифрите си, k-кратни. Например, 84 =7.(8+4) е 7-кратно число.
Изследването на k–кратните числа започваме с признака за делимост на 9, тъй като той е пряко свързан със сбора от цифрите на числата. Според този признак, едно число се дели на 9 когато сборът от цифрите му се дели на 9. Нещо повече, остатъкът при деление на едно число на 9 е равен на остатъка при деление на сбора от цифрите на това число на 9.
Ще докажем това свойство за четирицифрени числа. Тъй като две числа дават равни остатъци при деление на 9 когато тяхната разлика се дели на 9, достатъчно е да докажем, че разликата на четирицифреното число abcd и сбора от цифрите муa+b+c+d се дели на 9. Разликата е равна на:
abcd-(a+b+c+d)=1000.a+100.b+10.c+d-(a+b+c+d)=999.a+99.b+9.c
и очевидно се дели на 9. По същия начин се доказва това свойство и за числа с произволен брой цифри.
Задача 1. Докажете, че ако N е k-кратно число и k–1 не се дели на 3, то N се дели на 9. Какво може да се твърди за N, ако k–1 се дели на 3 и не се дели на 9?
Задача 2. Числото 912 е k–кратно, сборът от цифрите му е 12 и завършва на 12.
а) Кое е най-малкото k–кратно число със сбор на цифрите 13, завършващо на 13?
б) Съществува ли k–кратно число със сбор на цифрите 11, завършващо на 11?
Разглеждайки редицата(☼), забелязваме, че числата от вида 9.k при k £ 10 са k–кратни. Например, числото 2.9=18 е 2-кратно, 3.9=27 е 3-кратно и т.н. Това не е случайно. От признака за делимост на 9 следва, че сборът от цифрите на 9.k се дели на 9. Но при k £ 10 числото 9.k не надхвърля 90 и следователно сборът от цифрите му е най-много 17. Така получаваме, че сборът от цифрите на 9.k при k £ 10 е точно 9, което означава, че числото 9.k е k–кратно.
Забележка. Числата от вида 9.k не са единствените k–кратни числа за всяко k£10. Например, освен 9.7=63 има още три 7-кратни числа: 21, 42 и 84.
Задача 3. Намерете всички k –кратни числа при k равно на:
| а) 11; |
б) 12; |
в) 13; |
г) 14; |
д) 15; |
е) 16; |
ж) 19. |
Задача 4. Обяснете защо при 12 £ k £ 20 числата от вида 9.k са k –кратни.
Задача 5. а) Ако сборът от цифрите на числото N означим с S(N), докажете, че S(2.N)=2.S(N)-9.t, където t е броят на преносите при умножаване на N с 2.
б) Обяснете защо при 11 £ k £ 55 поне едно от числата 9.k и 18.k е k–кратно.
Задача 6. Докажете, че:
а) Ако двуцифрено число е k–кратно, то 1 < k £ 10.
б) Ако трицифрено число е k–кратно, то 10 < k £ 100.
в) Ако четирицифрено число е k–кратно, то 57 < k £ 1000.
г) Ако петцифрено число е k–кратно, то 392 < k £ 10 000.
Задача 7. Намерете най-малкото k, за което съществува четирицифрено k–кратно число. Има ли и трицифрени k-кратни числа за така намереното k?
Задача 8. Докажете, че най-малкото k, за което не съществува k–кратно число, е k=62.
Задача 9. Докажете, че не съществува 63–кратно число. Съществува ли 64–кратно число?
Задача 10.
a) Докажете, че съществуват безбройно много Harshad-числа.
б) Докажете, че съществуват безбройно много Harshad-числа, в чийто запис не участва цифрата 0.