Пъстро оцветяване

Втора тема за 6. – 7. клас

 

Всяко поле на квадратна дъска n х n е оцветено в черно или бяло. Оцветяването се нарича пъстро, ако:

(Съседни са полета с обща страна.)

 

Задача 1. По колко начина може да се оцвети пъстро дъска 3 х 3, ако едно от нейните ъглови полета е бяло?

Задача 2. По колко начина може да се оцвети пъстро дъска 4 х 4, ако полето в долния ляв ъгъл е черно?

Задача 3. Докажете, че на пъстро оцветена дъска не може да има три едноцветни полета, които са разположени последователно в един и същи ред (стълб).

Задача 4. На пъстро оцветена дъска  две съседни полета, които се намират в два различни реда, са еднакво оцветени. Докажете, че всеки две съседни полета, които се намират в тези два реда (едното в единия, другото – в другия) са едноцветни и при това цветовете на съседните двойки се редуват.

Задача 5. На пъстро оцветена дъска две съседни полета, които се намират в един и същи ред (стълб), са еднакво оцветени. Докажете, че в нито един стълб (ред) няма двойка съседни едноцветни полета.

Задача 6. Докажете, че ако на пъстро оцветена дъска има ред (стълб) с две съседни едноцветни полета, то оцветяването на дъската се определя еднозначно от оцветяването на този ред (стълб).

Задача 7. Дъска 5 х 5 трябва да се оцвети пъстро.

а) По колко различни начина може да бъде оцветен първият ред на дъската?

б) Колко пъстри оцветявания има тази дъска?

Задача 8. Дъска 6 х 6 трябва да се оцвети пъстро.

а) По колко различни начина може да бъде оцветен първият ред на дъската?

б) Колко пъстри оцветявания има тази дъска?

Задача 9. Колко са пъстрите оцветявания на дъска 7 х 7?

Задача 10. Колко са пъстрите оцветявания на дъска 8 х 8?

Обратно